MaFia bersama Lucas Nainggolan: Matematika

Home » Posts filed under Matematika

Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan

Barisan Bilangan II

Posted by Unknown Senin, 02 Maret 2015 0 comments

Pada bahasan sebelumnya, kita mempelajari barisan bilangan tingkat satu. Maka sekarang kita akan membahas barisan bilangan tingkat dua.
contoh:
1, 3, 6, 10, 15,
kita lihat sama-sama berapa pembedanya

ternyata tidak sama, tetapi

ternyata beda pembedanya sama.
maka kita mulai dari bawah dahulu.
rumus nya adalah 2a
2a = 1
a = 1/2

setelah itu kita lanjut ke tengah
rumusnya adalah 3a + b
3a + b = 2
3(1/2) + b = 2
b = 2 - 1 1/2
b = 1/2

kemudian kita lanjut ke atas
rumusnya adalah a + b + c
a + b + c = 1
1/2 + 1/2 + c = 1
c = 0

a, b, c digunakan untuk rumus

Hasil gambar untuk persamaan kuadrat

hanya mengganti x menjadi n. maka rumusnya menjadi

atau disederhanakan menjadi

sekian yang dapat saya bagikan. semoga bermanfaat.

Deret Aritmatika

Posted by Unknown Rabu, 04 Februari 2015 0 comments

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + .... + 50 =
jika kita menjumlah bilangan tersebut secara manual, tentu akan sangat lama. Itu baru sampai 50, kalau sampai 100?
Tapi kalau seperti berikut...
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 44 + 46 + 48 + 50
50 + 48 + 46 + 44 + ... + 8 + 6 + 4 + 2 +
52 + 52 + 52 + 52 + ... + 52 + 52 + 52 + 52
sebanyak 25
maka 52 x 25 = 1300
mudah, bukan?
maka kesimpulannya adalah

Sn = 1/2 x ( a + Un)

dengan:
Sn = jumlah suku n
a = bilangan awal
Un = bilangan akhir

Un = a + (n-1) x b

dengan:
a = bilangan awal
b = beda
= U2-U1

contoh soal:

1. Suku ke-4 dan suku ke-9 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan tersebut adalah ...

A. 308
B. 318
C. 326

D. 344
E. 354

Pembahasan
Dari beberapa suku yang diketahui diperoleh persamaan yaitu :
(1) U4 = a + 3b = 110
(2) U9 = a + 8b = 150

Dengan dua persamaan di atas, kita dapat menentukan nilai suku pertama (a) dan beda (b) barisan aritmatika tersebut. Nilai a dan b dapat ditentukan dengan metode eliminasi ataupun metode substitusi. Dengan metode substitusi, diperoleh :
a + 3b = 110 → a = 110 - 3b → substitusi ke persamaan (2).
a + 8b = 150
⇒ 110 - 3b + 8b = 150
⇒ 110 + 5b = 150
⇒ 5b = 40
⇒ b = 8
Karena b = 8, maka a = 110 - 3(8) = 110 - 24 = 86.
Jadi, suku ke-30 barisan aritmatika tersebut adalah :
U30 = a + 29b
⇒ U30 = 86 + 29(8)
⇒ U30 = 86 + 232
⇒ U30 = 318 (Opsi B)

2. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke-15 barisan ini adalah ...

A. 62
B. 68
C. 72

D. 74
E. 76

Pembahasan
Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
(1) U5 = a + 4b = 22
(2) U12 = a + 11b = 57

Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut :
a + 4b = 22 → a = 22 - 4b → substitusi ke persamaan (2).
a + 11b = 57
⇒ 22 - 4b +11b = 57
⇒ 22 + 7b = 57
⇒ 7b = 35
⇒ b = 5
Karena b = 5, maka a = 22 - 4(5) = 22 - 20 = 2.
Jadi, suku ke-15 barisan aritmatika tersebut adalah :
U15 = a + 14b
⇒ U15 = 2 + 14(5)
⇒ U15 = 2 + 70
⇒ U15 = 72 (Opsi C)

3. Suku keempat dan suku ketujuh suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 17 dan 29. Suku barisan ke-25 adalah ...

A. 97
B. 101
C. 105

D. 109
E. 113

Pembahasan
Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
(1) U4 = a + 3b = 17
(2) U7 = a + 6b = 29

Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut :
a + 3b = 17 → a = 17 - 3b → substitusi ke persamaan (2).
a + 6b = 29
⇒ 17 - 3b + 6b = 29
⇒ 17 + 3b = 29
⇒ 3b = 12
⇒ b = 4
Karena b = 4, maka a = 17 - 3(4) = 17 - 12 = 5.
Jadi, suku ke-25 barisan aritmatika tersebut adalah :
U25 = a + 24b
⇒ U25 = 5 + 24(4)
⇒ U25 = 5 + 96
⇒ U25 = 101 (Opsi B)

4. Suku kedua barisan aritmatika adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Suku ke-20 barisan aritmatika tersebut adalah ...

A. 59
B. 62
C. 63

D. 65
E. 68

Pembahasan
Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
(1) U2 = a + b = 5
(2) U5 = a + 4b = 14

Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut :
a + b = 5 → a = 5 - b → substitusi ke persamaan (2).
a + 4b = 14
⇒ 5 - b + 4b = 14
⇒ 5 + 3b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Karena b = 3, maka a = 5 - 3 = 2.
Jadi, suku ke-20 barisan aritmatika tersebut adalah :
U20 = a + 19b
⇒ U20 = 2 + 19(3)
⇒ U20 = 2 + 57
⇒ U20 = 59 (Opsi A)

5. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku keempat adalah 7 dan jumlah suku keenam dan kedelapan adalah 23. Besar suku kedua puluh adalah ...

A. 21
B. 20
C. 31

D. 41
E. 60

Pembahasan
Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
(1) U4 = a + 3b = 7
(2) U6 + U8 = (a + 5b) + (a + 7b) = 2a + 12b = 23

Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut :
a + 3b = 7 → a = 7 - 3b → substitusi ke persamaan (2).
2a + 12b = 23
⇒ 2(7 - 3b) + 12b = 23
⇒ 14 - 6b + 12b = 23
⇒ 6b = 9
⇒ b = 9/6 = 3/2

Karena b = 3/2, maka a = 7 - 3(3/2) = (14 - 9)/2 = 5/2.
Jadi, suku ke-20 barisan aritmatika tersebut adalah :
U20 = a + 19b
⇒ U20 = 5/2 + 19(3/2)
⇒ U20 = 5/2 + 57/2
⇒ U20 = 62/2 = 31 (Opsi C)

sekian dari saya, semoga bermanfaat.

Barisan Bilangan

Posted by Unknown Selasa, 20 Januari 2015 0 comments

Perhatikan rentetan bilangan berikut!

a. 1,3,5,7, ....
b. 1,4,9,16, ....
c. 1,3,6,10, ....

Rentetan bilangan diatas memiliki suatu pola tertentu yang disebut pola bilangan. dapatkah anda mengetahui bilangan selanjutnya?

Pada a, bilangan-bilangan itu dicari dengan cara 1 + (2) = 3; 3 + (2) = 5; 5 + (2) = 7; bilangan selanjutnya adalah 7 + (2) = 9; dan seterusnya.

Pada b, bilangan itu didapatkan dengan cara 1^2 = 1; 2^2 = 4; 3^2 = 9; 4^2 = 16; bilangan selanjutnya adalah 5^2 = 25; dan seterusnya.

Pada c, bilangan itu diperoleh dari cara 1 + 2 = 3; 3 + 3 = 6; 6 + 4 = 10; bilangan selanjutnya adalah 10 + 5 = 15; dan seterusnya.

Sekumpulan bilangan yang memiliki pola yang sama dan tertata secara urut itulah yang disebut Barisan Bilangan. Misalnya barisan bilangan ganjil, barisan bilangan persegi, barisan bilangan segitiga, dsb. Jenis barisan bilangan yang tadi kita bahas adalah barisan bilangan tingkat satu dan barisan bilangan tingkat dua. Dikatakan barisan bilangan tingkat satu karena

Dan dikatakan barisan bilangan tingkat dua dikarenakan

Pada suatu barisan bilangan, misalnya 2,8,14,20, ... kita disuruh mencari suku ke-20, kan gak mungkin kita membuat barisan bilangan tersebut sampai suku ke-20. Oleh karena itu, kita mencarinya dengan rumus suku ke-n, yakni

Un = a + (n-1)b

ket:

Un : Suku ke-n

a : Suku pertama

b : beda

Contoh

Suatu barisan bilangan 3,7,11,15,19,23, ... tentukanlah suku ke-40!

Pembahasan

a = 3

b = U2 - U1 = 7-3 = 4

U40 = 3 + (40-1)4 = 159

Demikian pembahasan tentang barisan bilangan. Semoga bermanfaat

Persamaan Kuadrat

Posted by Unknown Minggu, 18 Januari 2015 0 comments

Persamaan kuadrat merupakan bentuk persamaan yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Bentuk umum persamaan ini adalah $y = ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \# 0$ , a, b, dan c adalah koefisien dan x merupakan variabelnya.

Jika digambar dalam koordinat Cartesius, persamaan ini akan berbentuk parabola yang bentuknya ditentukan oleh nilai a.
Jika a > 0 maka parabolanya terbuka ke atas, dan jika a < 0, maka parabolanya terbuka ke bawah. Sumbu simetrinya terletak pada $-b/2a$ . Sedangkan c menentukan titik potong terhadap sumbu y saat x = 0.

Penyelesaian Akar-akar Persamaan Kuadrat

Ada tiga metode yang biasa digunakan untuk menyelesaikannya, yaitu memfaktorkan, menggunakan rumus abc, atau menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna. Semuanya menghasilkan nilai yang sama, namun beberapa metode memiliki kelebihan tersendiri, dan terkadang salah satu metode lebih mudah digunakan daripada metode lain untuk bentuk persamaan kuadrat tertentu.

Perhatikan contoh persamaan kuadrat berikut.

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Dengan menggunakan metode factoring, ruas kiri tersebut dapat kita ubah menjadi perkalian dua faktor, yaitu: $(x - 3)(x - 2) = 0$
Maka salah satu faktornya harus sama dengan 0, sehingga $x = 3$ atau $x = 2$
Kemudian perhatikan contoh persamaan kuadrat berikut:\

$2x^2 - 7x + 4 = 0$

Persamaan ini tidak bisa kita faktorkan. Oleh karena itu, cara menyelesaikannya adalah dengan menggunakan rumus abc, yaitu:

$x_1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Dengan demikian,

$x_1,2 = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4.2.4}}{2.2}$
$x_1,2 = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{4}$
$x_1,2 = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{4}$

Berikut ini contoh cara solusi dengan menggunakan metode menyelesaikan kuadrat sempurna:
Carilah akar-akar dari $x^2 - 4x + 3 = 0$
Caranya adalah kita mengubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat, yaitu:

$x^2 - 4x + 4 - 1 = 0$
$(x-2)^2 - 1 = 0$
$(x-2)^2 = 1$ lalu akarkan kedua ruas, menjadi
$(x-2) = \pm 1$
Sehingga $x_1,2 = 2 \pm 1$
Maka $x_1 = 3$ atau $x_1 = 1$

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Nilai $b^2 - 4ac$ biasa disebut dengan diskriminan, atau D.
Jika D> 0, maka akar-akarnya real dan peta.

Jika D = 0, maka akar-akarnya real dan kembar. Sedangkan jika D < 0, maka persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar-akar real.

Kesebangunan

Posted by Unknown Sabtu, 17 Januari 2015 0 comments

Contoh soal dan pembahasan kesebangunan kongruensi materi matematika kelas 9 SMP.
Kesebangunan persegipanjang, segitiga dan segitiga siku-siku, serta kongruensi pada trapesium.

Soal No. 1
Diberikan dua buah persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS seperti gambar berikut.

Kedua persegipanjang tersebut adalah sebangun. Tentukan:
a) panjang PQ
b) luas dan keliling persegipanjang PQRS
Pembahasan
a) Perbandingan panjang garis AB dengan AD bersesuaian dengan perbandingan panjang garis PQ dengan PS. Sehingga

Panjang PQ = 24 cm

b) Luas persegipanjang PQRS = PQ x PS = 24 cm x 6 cm = 144 cm2
Keliling persegipanjang PQRS = 2 x (PQ + PS) = 2 x (24 cm + 6 cm) = 60 cm

Soal No. 2
Perhatikan gambar berikut!

Tentukan panjang DB!

Pembahasan
Soal ini tentang kesebangunan segitiga. Segitiga ABC yang lebih besar sebangun dengan segitiga kecil ADE sehingga perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian akan sama. Temukan dulu panjang sisi AB, ambil perbandingan alas dan tinggi dari kedua segitiga seperti berikut ini: